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Formula to Problem Solving: Teaching Trigonometry in
Preparation
for University Admission
De
la fórmula a la resolución de problemas: enseñanza de la
trigonometría
en la preparación para el ingreso universitario
Kevin Santiago Mullo Cóndor 1
ORCID: https://orcid.org/0009-0003-0048-0382
Universidad Central del Ecuador. Quito-Ecuador
1
Corresponding
autor
mullo.kevin@gmail.com
Received: 11-06-2026
Accepted: 01-09-2026
Available online: 15-09-2026
Abstract
Pre-university preparation in trigonometry often focuses on
mastering formulas and procedures, although admission to higher education
requires students to solve problems involving interpretation, modeling, and
strategy selection. The objective was to understand how teachers in
pre-university courses in Quito taught trigonometry and what difficulties they
identified in the transition from applying formulas to solving problems. A
qualitative, descriptive-interpretive study was conducted with 23 teachers
selected through purposive sampling. Semi-structured interviews were conducted,
and the information was examined through thematic analysis. The results
revealed three main trends: the predominance of procedural teaching focused on
trigonometric identities and ratios; students’ difficulties in interpreting
problem statements, representing situations, and deciding which trigonometric
relationship to use; and better responses when contextualized problems,
graphical representations, error analysis, and progressively challenging sequences
were used. It was also found that pressure to cover content and prepare
students for examinations favored practices focused on procedural speed. It was
concluded that pre-university preparation should integrate procedural knowledge
with strategies for interpretation, representation, and problem solving.
Keywords: trigonometry,
problem solving, mathematics teaching, pre-university education, teachers.
Resumen
La preparación preuniversitaria en trigonometría suele concentrarse
en el dominio de fórmulas y procedimientos, aunque el ingreso a la educación
superior exige resolver problemas que demandan interpretación, modelización y
selección de estrategias. El objetivo fue comprender cómo docentes de cursos
preuniversitarios de Quito enseñaban trigonometría y qué dificultades
identificaban en el tránsito desde la aplicación de fórmulas hacia la
resolución de problemas. Se desarrolló un estudio cualitativo, descriptivo-interpretativo,
con 23 docentes seleccionados mediante muestreo intencional. Se aplicaron
entrevistas semiestructuradas y la información se examinó mediante análisis
temático. Los resultados mostraron tres tendencias: predominio de una enseñanza
procedimental orientada a identidades y razones trigonométricas; dificultades
del estudiantado para interpretar enunciados, representar situaciones y decidir
qué relación trigonométrica utilizar; y mejores respuestas cuando se empleaban
problemas contextualizados, representaciones gráficas, análisis de errores y
secuencias de dificultad progresiva, se indicó que la presión por cubrir
contenidos y preparar exámenes favorecía prácticas centradas en rapidez
operativa. Se concluyó que la preparación preuniversitaria requería articular
el conocimiento procedimental con estrategias de interpretación, representación
y resolución de problemas.
Palabras clave: trigonometría, resolución de
problemas, enseñanza de las matemáticas, educación preuniversitaria, docentes.
Introduction
La trigonometría constituye un contenido de
enlace entre la geometría, el álgebra y el estudio posterior de funciones, por
lo que su aprendizaje requiere comprender relaciones entre ángulos, longitudes,
razones y diferentes formas de representación matemática. Esta articulación
hace que su enseñanza resulte especialmente exigente, pues el estudiante debe
coordinar conocimientos previos y reconocer cuándo una relación trigonométrica
resulta pertinente para resolver una situación. Las investigaciones han
identificado dificultades relacionadas con la comprensión de conceptos, la
transformación de problemas verbales y el predominio de aprendizajes basados en
la memorización, mientras que desde la perspectiva docente se ha señalado que
enseñar trigonometría demanda un conocimiento pedagógico del contenido que
permita vincular conceptos, procedimientos, representaciones y formas de
razonamiento (Adhikari & Subedi, 2021).
Una cuestión asociada con estas dificultades es
la relación entre conocimiento procedimental y comprensión conceptual. La
capacidad para aplicar correctamente una fórmula permite resolver ejercicios
cuya estructura es conocida, pero puede ser insuficiente cuando el estudiante
debe interpretar una situación, determinar qué información es relevante y
seleccionar un procedimiento sin que este se encuentre indicado explícitamente.
La investigación sobre cognición matemática señala que el conocimiento
conceptual y el procedimental interactúan durante la resolución de problemas,
especialmente en tareas no rutinarias, donde la selección y evaluación de
estrategias adquieren mayor importancia. En trigonometría, además, la
complejidad de ciertos procedimientos algebraicos puede incrementar las
demandas cognitivas de la tarea y dificultar la transferencia de procedimientos
previamente aprendidos hacia problemas con una estructura diferente (Braithwaite & Sprague, 2021).
Las dificultades en trigonometría no se limitan
al cálculo. Diversos estudios han encontrado errores durante la comprensión del
enunciado, la identificación de los datos, la transformación de información verbal
en relaciones matemáticas, la elección de una estrategia y la comprobación de
la respuesta. Sulistyaningsih et al. (2021) observaron errores en distintas fases de la resolución de
problemas trigonométricos, incluidos problemas de comprensión, transformación y
ejecución del procedimiento. De forma similar, Gradini et al. 2022) identificaron
dificultades al desarrollar las etapas de resolución planteadas por Polya,
mientras que otros estudios sobre problemas verbales han encontrado obstáculos
para traducir situaciones contextualizadas en modelos matemáticos adecuados.
Frente a estas dificultades, la enseñanza de la
trigonometría puede superar la aplicación aislada de fórmulas mediante actividades
que obliguen a reconocer relaciones, comparar procedimientos y justificar la
estrategia utilizada. El trabajo con ejemplos resueltos, la comparación entre
problemas con estructuras similares y la resolución progresiva de tareas pueden
ofrecer apoyos para comprender cómo se organiza una solución y facilitar
posteriormente la transferencia hacia situaciones nuevas. Ngu & Phan (2023) encontraron
diferencias en el aprendizaje de problemas trigonométricos según el tipo de
apoyo instruccional utilizado, mientras que Setiawan (2022) mostró
que las representaciones verbales, numéricas, gráficas y algebraicas participan
de manera distinta en la resolución de problemas trigonométricos. Asimismo, el
análisis de problemas contextualizados con triángulos muestra que la
construcción de representaciones adecuadas constituye una parte relevante del
proceso de resolución (Guo, 2022).
La manera en que estas estrategias se incorporan
en el aula depende en buena medida de las decisiones del docente. Enseñar
trigonometría implica seleccionar ejemplos, anticipar errores, elegir
representaciones, establecer relaciones entre conceptos y procedimientos y
decidir cuánto espacio se concede a la explicación frente a la práctica
repetitiva. Spangenberg (2021)
encontró que el conocimiento pedagógico del contenido trigonométrico se
manifiesta en el dominio de la materia, las estrategias de enseñanza, el
conocimiento de las concepciones de los estudiantes y la interpretación del
currículo. Por otra parte, las investigaciones con futuros docentes muestran
que incluso quienes poseen formación matemática pueden recurrir a
representaciones diferentes y experimentar dificultades al enfrentarse a
problemas que demandan interpretar situaciones y construir estrategias, lo que
sitúa las decisiones pedagógicas del profesorado como un aspecto relevante para
comprender cómo se enseña este contenido (Setiawan, 2022; Spangenberg, 2021).
Esta problemática adquiere características
particulares en los cursos preuniversitarios, donde el tiempo disponible, la
necesidad de revisar contenidos previamente estudiados y la preparación para
evaluaciones de ingreso pueden favorecer una enseñanza orientada a reconocer
rápidamente procedimientos y aplicar fórmulas. Sin embargo, los problemas de
trigonometría pueden requerir competencias que exceden la ejecución mecánica,
como interpretar enunciados, representar una situación, establecer relaciones
entre datos y seleccionar una estrategia. La literatura revisada ha estudiado
principalmente las dificultades de estudiantes de educación secundaria, futuros
profesores y docentes de instituciones escolares, mientras que se dispone de
menor información sobre las decisiones pedagógicas de profesores que trabajan
específicamente en contextos de preparación preuniversitaria y sobre cómo
perciben la transición entre el uso de fórmulas y la resolución de problemas.
Examinar esta cuestión desde la experiencia de
los docentes permite aproximarse a las prácticas de enseñanza que se utilizan
en estos espacios y a las dificultades que ellos identifican cuando los
estudiantes deben pasar de reconocer una fórmula a interpretar y resolver una
situación matemática. Los antecedentes muestran que los errores en
trigonometría pueden localizarse en distintas etapas de la resolución y que las
estrategias utilizadas por el profesorado influyen en las oportunidades que
tiene el estudiante para comprender las relaciones matemáticas implicadas, por
lo que resulta pertinente analizar el fenómeno desde quienes desarrollan
directamente la preparación preuniversitaria. En este contexto, el objetivo de
este estudio fue comprender cómo los docentes de cursos preuniversitarios de la
ciudad de Quito enseñaban trigonometría y qué dificultades identificaban en el
tránsito desde la aplicación de fórmulas hacia la resolución de problema.
Methodology
Se desarrolló un estudio cualitativo, de alcance
descriptivo-interpretativo, orientado a comprender cómo los docentes de cursos
preuniversitarios enseñaban trigonometría y qué dificultades identificaban
cuando los estudiantes pasaban de la aplicación de fórmulas a la resolución de
problemas. Este enfoque permitió examinar experiencias, decisiones pedagógicas
y significados construidos desde la práctica docente, sin buscar establecer
relaciones causales ni generalizar los resultados a todos los docentes que
trabajan en preparación preuniversitaria (Creswell & Creswell, 2017).
Participaron 23 docentes de Matemática que
trabajaban en cursos de preparación preuniversitaria de la ciudad de Quito. La
selección se realizó mediante muestreo intencional por criterios. Se incluyeron
docentes que impartían trigonometría en cursos preuniversitarios, contaban con
al menos un año de experiencia en este tipo de preparación y aceptaron
participar voluntariamente. Se excluyeron quienes desempeñaban únicamente
funciones administrativas o no trabajaban directamente contenidos trigonométricos.
Este tipo de muestreo permitió seleccionar participantes con experiencia
directa en el fenómeno estudiado.
La información se obtuvo mediante entrevistas
individuales semiestructuradas, la guía abordó cuatro aspectos: formas de
enseñar trigonometría; uso de fórmulas, identidades y procedimientos;
dificultades observadas durante la resolución de problemas; y estrategias
utilizadas para favorecer la interpretación, representación y selección de
procedimientos. También se incluyeron preguntas sobre la influencia del tiempo
disponible, la cobertura de contenidos y la preparación para evaluaciones de
ingreso. Las preguntas fueron abiertas y se incorporaron preguntas de
profundización cuando fue necesario ampliar o aclarar las respuestas
Las entrevistas se realizaron durante enero y
febrero del 2026 en modalidad virtual, con una duración aproximada de 40
minutos. Con autorización de los participantes, fueron grabadas en audio y
posteriormente transcritas. Cada docente fue identificado con un código
alfanumérico, de D01 a D23, para resguardar su identidad. También se
registraron notas de campo relacionadas con el contexto de las entrevistas y
con aspectos útiles para el análisis posterior.
El corpus se analizó mediante análisis temático
reflexivo, primero se realizó una lectura reiterada de las transcripciones;
después se codificaron segmentos vinculados con formas de enseñanza,
dificultades del estudiantado, decisiones docentes y estrategias de resolución.
Los códigos se agruparon según patrones de significado, se construyeron temas
provisionales y se revisó su correspondencia con el conjunto de las
transcripciones. Finalmente, se definió el alcance de cada tema y se
seleccionaron fragmentos representativos para sustentar los resultados.
Durante el análisis se revisó la correspondencia
entre transcripciones, códigos y temas, considerando coincidencias y diferencias
entre los participantes. La frecuencia de una respuesta no se utilizó como
único criterio para determinar su relevancia. En los resultados, los temas se
acompañaron de fragmentos textuales identificados mediante los códigos
asignados a los docentes, con el fin de mostrar la relación entre la
interpretación y la información obtenida.
Results
El análisis
temático permitió organizar la información en cuatro temas: enseñanza centrada
en procedimientos, dificultades para interpretar y representar problemas,
estrategias utilizadas para avanzar hacia la resolución y presión asociada con
el tiempo y las evaluaciones de ingreso.
Predominio de una enseñanza
centrada en fórmulas y procedimientos
Los docentes describieron una
práctica frecuente basada en la explicación de razones trigonométricas,
identidades y procedimientos de resolución seguidos de ejercicios similares. La
secuencia habitual consistía en presentar una fórmula, resolver uno o varios
ejemplos y solicitar posteriormente ejercicios con cambios en los datos
numéricos. Este procedimiento era utilizado principalmente cuando se requería
revisar contenidos en periodos cortos.
Varios participantes señalaron
que los estudiantes podían resolver ejercicios cuando reconocían de manera
inmediata la fórmula que debían utilizar, pero mostraban mayores dificultades
cuando el problema no indicaba directamente la relación trigonométrica
necesaria.
“Cuando el ejercicio ya les
muestra el triángulo y prácticamente les dice qué datos tienen, lo resuelven.
El problema aparece cuando tienen que construir ellos mismos la situación”
(D04).
“Primero trato de que
recuerden seno, coseno y tangente porque llegan con vacíos. Después hacemos
ejercicios, pero muchas veces terminan buscando qué fórmula se parece al
ejemplo anterior” (D11).
También se identificó un uso
frecuente de procedimientos memorizados para resolver identidades
trigonométricas. Algunos docentes indicaron que esta estrategia permitía
aumentar la rapidez de respuesta, aunque no siempre facilitaba que los
estudiantes explicaran por qué aplicaban una transformación determinada.
Dificultades para
interpretar y representar los problemas
Las dificultades descritas
por los docentes se concentraron principalmente antes de la ejecución de los
cálculos. Los participantes mencionaron problemas para reconocer los datos
relevantes, identificar la incógnita, representar gráficamente la situación y
decidir qué razón o relación trigonométrica debía emplearse.
La interpretación de
problemas verbales fue señalada como una de las dificultades más recurrentes.
Según los docentes, algunos estudiantes intentaban buscar números y operaciones
antes de comprender la situación descrita.
“Leen el problema y
enseguida quieren reemplazar valores. Si no aparece un dibujo, muchas veces no
saben por dónde comenzar” (D07).
“Saben la fórmula de
tangente, pero cuando el problema habla de una altura, una distancia y un
ángulo de elevación, no siempre identifican que esa es la relación que
necesitan” (D16).
La representación gráfica
apareció como un punto de transición entre la comprensión del enunciado y el
procedimiento matemático. Los docentes indicaron que los estudiantes mejoraban
su desempeño cuando lograban transformar el texto en un triángulo, identificar
sus elementos y relacionar los datos con la incógnita. También se mencionaron
dificultades al distinguir entre ángulos de elevación y depresión, reconocer el
cateto opuesto y el adyacente respecto de un ángulo determinado y trabajar con
figuras que no presentaban la orientación utilizada habitualmente en los
ejercicios.
Estrategias para avanzar
hacia la resolución de problemas
Los docentes describieron
diferentes estrategias para disminuir la dependencia de la aplicación directa
de fórmulas. Entre las más mencionadas estuvieron el uso de problemas
contextualizados, la elaboración de representaciones gráficas, la comparación
entre procedimientos, el análisis de errores y la organización de ejercicios
con dificultad progresiva.
Una estrategia utilizada
consistía en retirar gradualmente la información explícita. Los primeros
ejercicios incluían la figura y los datos identificados; posteriormente se
presentaban problemas en los que el estudiante debía elaborar el gráfico y
decidir qué relación trigonométrica utilizar.
“Al inicio les doy el
triángulo armado, después solo el enunciado. Ahí tienen que decidir qué dibujar
y qué razón usar. Eso permite ver si realmente entendieron o solo estaban
copiando el procedimiento” (D02).
El análisis de errores
también fue empleado para revisar procedimientos. Algunos docentes presentaban
soluciones incorrectas y pedían a los estudiantes identificar en qué paso se
había producido el problema.
“Cuando revisamos un error
entre todos, entienden mejor por qué no basta con reemplazar números. Tienen
que justificar de dónde sale cada relación” (D19).
Los participantes señalaron
además que los problemas relacionados con alturas, distancias, inclinaciones y
ángulos de observación facilitaban el paso desde la representación hacia la
elección de una estrategia, siempre que la situación no incorporara
simultáneamente demasiadas operaciones algebraicas.
Tiempo disponible y
preparación para evaluaciones de ingreso
Los relatos mostraron que
las decisiones didácticas estaban condicionadas por el tiempo de preparación y
por la cantidad de contenidos incluidos en las evaluaciones de ingreso. Los
docentes señalaron que, cuando disponían de pocas semanas, tendían a priorizar
procedimientos de resolución rápida, ejercicios tipo y reconocimiento de
estructuras recurrentes.
“Uno quisiera trabajar más
el razonamiento del problema, pero también tenemos un temario que cumplir y una
prueba para la que están estudiando” (D09).
“Cuando falta poco para el
examen, el estudiante pide métodos rápidos. Entonces se termina practicando
mucho el tipo de ejercicio que probablemente va a encontrar” (D21).
Sin embargo, varios
participantes diferenciaron entre resolver con rapidez y comprender la
situación. Indicaron que el entrenamiento centrado únicamente en ejercicios
tipo podía producir buenos resultados mientras se mantenía la estructura
conocida, pero generaba dificultades cuando cambiaba la forma de presentar el
problema.
Discussion
Los resultados muestran que la enseñanza de la
trigonometría en los cursos preuniversitarios se mantiene con frecuencia
asociada a la explicación de fórmulas, identidades y procedimientos que luego
se reproducen en ejercicios semejantes. Esta práctica facilita la rapidez
operativa, pero puede limitar la capacidad de enfrentar problemas cuya
estructura no es reconocible de inmediato. Santos-Trigo (2024) plantea
que la resolución de problemas matemáticos implica formular, explorar y
construir rutas de solución, mientras que Roorda et al. (2024) encontraron
que los docentes suelen tener dificultades para incorporar de manera
sistemática espacios donde se discutan estrategias y no únicamente respuestas
correctas. Estos antecedentes ayudan a interpretar la tensión observada entre
preparar para resolver con rapidez y enseñar a decidir cómo abordar una
situación matemática.
Las dificultades señaladas por los docentes se
concentraron especialmente en la interpretación del enunciado, la
representación gráfica y la elección de la relación trigonométrica adecuada.
Este resultado coincide con Melissa et al. (2023) quienes
encontraron limitaciones en la selección y traducción entre representaciones al
resolver problemas trigonométricos. La representación parece funcionar como un
puente entre la comprensión del problema y la ejecución del procedimiento, pues
permite organizar datos, reconocer relaciones y decidir qué recurso matemático
utilizar.
Los docentes también señalaron mejores
respuestas cuando utilizaron problemas contextualizados, análisis de errores y
secuencias de dificultad progresiva. Esto guarda relación con Fererde et al. (2024) quienes
reportaron mejores resultados en comprensión conceptual y resolución de
problemas de trigonometría mediante actividades contextualizadas y modelización
matemática. De forma complementaria, Roorda et al. (2024) señalan que trabajar
la matemática a través de problemas requiere que el docente promueva la
discusión de procedimientos y estrategias, en lugar de concentrarse únicamente
en obtener una respuesta final.
Finalmente, la presión por cubrir contenidos y
preparar evaluaciones ayuda a explicar por qué los docentes recurren a
ejercicios tipo y procedimientos de solución rápida. Esta situación no implica
que dichas prácticas carezcan de utilidad, sino que su predominio puede reducir
el tiempo destinado a interpretación, representación y comparación de
estrategias. Estudios con docentes de Matemática también han identificado la
presión de pruebas de alta exigencia y la cantidad de contenidos como
dificultades que condicionan las decisiones de enseñanza (Güner & Çermik, 2022),
mientras que la literatura reciente plantea que enseñar resolución de problemas
requiere conocimientos y decisiones pedagógicas específicas (Piñeiro & Castro-Rodríguez, 2024).
Conclusions
La enseñanza de la trigonometría en la
preparación preuniversitaria requiere integrar el dominio procedimental con
procesos de interpretación, representación y toma de decisiones matemáticas.
Esta articulación permite comprender la resolución de problemas como una
actividad distinta de la aplicación automática de fórmulas.
El trabajo docente en este contexto demanda
diseñar secuencias que permitan pasar de ejercicios estructurados hacia
situaciones en las que el estudiante deba identificar relaciones, construir
representaciones y justificar el procedimiento elegido. De este modo, la
preparación para el ingreso universitario puede atender tanto la precisión
operativa como la comprensión matemática.
El estudio permite comprender la preparación
preuniversitaria como un espacio pedagógico condicionado por el tiempo
disponible y las exigencias de las evaluaciones de ingreso. Esto plantea la
necesidad de seguir estudiando cómo organizar la enseñanza de la trigonometría
para equilibrar la práctica procedimental con el desarrollo de estrategias de
resolución de problemas..
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