Review
Teaching
Mathematics through Variation Theory: A Systematic
Review
of Empirical Evidence
Enseñanza
de la matemática mediante la Teoría de la Variación:
revisión
sistemática de la evidencia empírica
Kevin Santiago Mullo Cóndor 1
ORCID: https://orcid.org/0009-0003-0048-0382
Universidad Central del Ecuador. Quito-Ecuador
1
Corresponding
autor
mullo.kevin@gmail.com
Received: 19-06-2026
Accepted: 05-09-2026
Available online: 15-09-2026
Abstract
Mathematics teaching faces the challenge of promoting an
understanding of relationships, properties, and concepts beyond the repetition
of procedures. Variation Theory proposes that learning occurs when students are
able to discern critical aspects of a mathematical object through the
systematic variation of certain elements while others remain invariant. The
objective was to analyze how Variation Theory has been applied in mathematics
teaching and what contributions empirical evidence reports regarding conceptual
understanding and problem solving. The review identified applications in areas
such as arithmetic, algebra, geometry, functions, and calculus, mainly through
task sequences designed around patterns of contrast, generalization,
separation, and fusion. The reviewed studies indicated that the effectiveness
of this approach depends on the selection of critical aspects of the content
and on the organization of the variations presented to students. It was
concluded that Variation Theory provides a didactic framework for designing
mathematical learning experiences oriented toward conceptual discernment,
although its application requires instructional planning linked to the specific
characteristics of each mathematical content.
Keywords: Variation
Theory, mathematics teaching, mathematics learning, conceptual understanding,
problem solving.
Resumen
La enseñanza de la matemática enfrenta el desafío de favorecer la
comprensión de relaciones, propiedades y conceptos más allá de la repetición de
procedimientos. La Teoría de la Variación propone que el aprendizaje se produce
cuando el estudiante logra discernir aspectos críticos de un objeto matemático
mediante la variación sistemática de ciertos elementos y la permanencia de
otros. El objetivo fue analizar cómo se ha aplicado la Teoría de la Variación
en la enseñanza de la matemática y qué aportes reporta la evidencia empírica
sobre la comprensión de conceptos y la resolución de problemas. La revisión
permitió identificar aplicaciones en contenidos como aritmética, álgebra,
geometría, funciones y cálculo, principalmente mediante secuencias de tareas
diseñadas a partir de patrones de contraste, generalización, separación y
fusión. Los estudios revisados mostraron que la efectividad de este enfoque
depende de la selección de los aspectos críticos del contenido y de la
organización de las variaciones presentadas al estudiante. Se concluyó que la
Teoría de la Variación ofrece un marco didáctico para diseñar experiencias
matemáticas orientadas al discernimiento conceptual, aunque su aplicación
requiere una planificación docente vinculada con las características
específicas de cada contenido.
Palabras clave: Teoría de la Variación,
enseñanza de la matemática, aprendizaje matemático, comprensión conceptual,
resolución de problemas.
Introduction
La enseñanza de la matemática no depende
únicamente de la cantidad de ejercicios que resuelve el estudiante, sino
también de las relaciones que logra advertir entre conceptos, propiedades y
representaciones. Desde esta perspectiva, aprender supone distinguir rasgos
relevantes de un contenido y reconocer cómo cambian cuando otras condiciones
permanecen estables. La Teoría de la Variación se sitúa en esta línea al
considerar que el discernimiento de un aspecto requiere experimentar
diferencias dentro de una dimensión de variación, mientras otros elementos se
mantienen invariantes (Sánchez Acevedo et al., 2026). Por ello, la variación no se entiende como presentar
ejercicios distintos de manera arbitraria, sino como organizar deliberadamente
el contenido para dirigir la atención hacia aquello que es necesario comprender
(Marton, 2014).
Uno de los conceptos centrales de esta teoría es
el objeto de aprendizaje, entendido como aquello que se espera que el
estudiante llegue a comprender o sea capaz de realizar. Su aprendizaje depende
de los aspectos críticos que todavía no han sido discernidos por el estudiante.
Desde este enfoque, las diferencias entre lo que los alumnos aprenden ante una
misma enseñanza pueden explicarse, al menos parcialmente, por los aspectos del
contenido que cada uno logra reconocer. Los patrones de variación e invariancia
permiten abrir dimensiones del contenido para que determinados aspectos se
hagan perceptibles, mediante procesos como contraste, generalización y fusión
de características matemáticas (Kullberg et al., 2017).
En educación matemática, la Teoría de la
Variación se ha empleado tanto para diseñar situaciones de enseñanza como para
analizar las oportunidades de aprendizaje que ofrece una lección. Los estudios
muestran que la selección y secuenciación de ejemplos puede modificar aquello
que el estudiante tiene posibilidad de advertir sobre una estructura matemática
(Ríos-Cuesta, 2023).
Kullberg et al. (2017) observaron que distintas maneras de variar los elementos
de una tarea daban lugar a posibilidades diferentes de aprendizaje, mientras
que Al-Murani et al. (2019)
utilizaron este enfoque para analizar cómo profesores de educación primaria
estructuraban contenidos matemáticos mediante dimensiones de variación y rangos
de cambio.
La evidencia empírica también muestra
aplicaciones en el aprendizaje de la aritmética. Björklund et al. (2021) a
partir de 2184 observaciones de niños de entre cuatro y siete años,
identificaron aspectos relacionados con cardinalidad, ordinalidad,
representaciones numéricas y relaciones parte-todo que debían ser discernidos
para resolver determinadas tareas aritméticas. De manera semejante, los
estudios desarrollados desde la perspectiva de la variación han mostrado que
modificar sistemáticamente ciertos componentes de una tarea mientras otros
permanecen constantes permite hacer visibles relaciones matemáticas que pueden
pasar inadvertidas cuando los ejemplos se presentan sin una estructura
explícita de comparación (Marton & Pang, 2006).
Las aplicaciones no se restringen a los primeros
años de escolaridad. En educación superior, Attorps et al. (2016) emplearon
la Teoría de la Variación junto con GeoGebra para trabajar aproximaciones
mediante polinomios de Taylor y encontraron que el diseño permitió hacer
visibles aspectos del contenido relevantes para su comprensión. En educación
secundaria, Kassa et al. (2025)
aplicaron el enfoque mediante un Learning Study para la resolución de
triángulos rectángulos y reportaron cambios en la comprensión de problemas y en
procedimientos trigonométricos. Más recientemente, Ryberg et al. (2025) diseñaron
cinco ciclos de enseñanza sobre suma y resta de números negativos y analizaron
cómo determinadas variaciones permitían hacer visibles las relaciones
necesarias para comprender estas operaciones.
La aplicación de la teoría también implica exigencias
para el profesorado. Identificar los aspectos críticos de un contenido,
seleccionar qué debe variar y qué debe mantenerse constante y organizar los
ejemplos en una secuencia coherente requiere decisiones vinculadas con el
contenido matemático específico. Los estudios sobre formación docente muestran
que trabajar con la Teoría de la Variación puede ayudar a los profesores a
analizar con mayor detalle aquello que pretenden enseñar, aunque apropiarse de
sus principios y traducirlos a tareas concretas no constituye un proceso
automático. Royea & Nicol, (019).
Kullberg et al. (2017) mostraron cambios en la forma de organizar el objeto de
aprendizaje después de procesos de desarrollo profesional basados en la teoría.
Los estudios disponibles muestran aplicaciones
de la Teoría de la Variación en distintos niveles educativos, contenidos y
diseños de enseñanza. Sin embargo, esa diversidad también dificulta establecer
una visión integrada sobre qué componentes de la teoría se utilizan con mayor
frecuencia, cómo se concretan en las tareas matemáticas y qué aportes han sido
observados en estudios empíricos. La literatura incluye intervenciones,
análisis de lecciones, Learning Studies y experiencias vinculadas con formación
docente, desarrolladas en contenidos que van desde la aritmética elemental
hasta la trigonometría y el cálculo (Fernando Tercero Vitola De La Rosa, 2023).
Resulta pertinente integrar la evidencia
disponible desde una revisión narrativa que permita examinar el modo en que la
teoría ha sido trasladada desde sus principios conceptuales hacia situaciones
concretas de enseñanza de la matemática, sin pretender exhaustividad propia de
una revisión sistemática. A partir de este problema, la pregunta que orientó el
análisis fue: ¿cómo se ha aplicado la Teoría de la Variación en la enseñanza de
la matemática y qué aportes identifica la evidencia empírica para la
comprensión de conceptos y la resolución de problemas? En consecuencia, el
objetivo de este estudio fue analizar cómo se ha aplicado la Teoría de la
Variación en la enseñanza de la matemática y qué aportes reporta la evidencia
empírica sobre la comprensión de conceptos y la resolución de problemas.
El estudio se desarrolló mediante una revisión
narrativa de la literatura orientada a integrar aportes teóricos y evidencia
empírica sobre la aplicación de la Teoría de la Variación en la enseñanza de la
matemática. La búsqueda bibliográfica se orientó a publicaciones académicas
localizadas en Scopus, Web of Science, ERIC y Google Scholar mediante
combinaciones de los términos Variation Theory, mathematics education,
mathematics teaching, learning study, mathematical learning y sus equivalentes
en español. Se consideraron estudios que abordaran de manera directa la Teoría
de la Variación en contextos de enseñanza o aprendizaje matemático, así como
trabajos conceptuales necesarios para comprender sus principios. La selección
priorizó investigaciones empíricas revisadas por pares y publicaciones
vinculadas con aritmética, álgebra, geometría, funciones, trigonometría y
cálculo, sin limitar el análisis a un diseño metodológico específico.
La información se organizó mediante categorías
relacionadas con el contenido matemático estudiado, los patrones de variación
utilizados, los aspectos críticos identificados y los aportes reportados para
el aprendizaje. Posteriormente se realizó una síntesis narrativa orientada a
comparar aplicaciones, coincidencias, diferencias y vacíos presentes en la
literatura, sin pretender exhaustividad ni efectuar una evaluación cuantitativa
de los efectos encontrados
Development
Aplicación de la variación en el aprendizaje de
conceptos matemáticos
La evidencia empírica muestra que la Teoría de
la Variación puede utilizarse para organizar contenidos matemáticos de manera
que determinados aspectos se hagan perceptibles mediante comparaciones entre
casos. En un estudio sobre ecuaciones de segundo grado, Olteanu & Holmqvist (2011) encontraron que diferencias en aquello que los docentes
hacían visible durante las clases se relacionaban con resultados distintos en
la resolución de ecuaciones. De forma semejante, Holmqvist Olander & Nyberg (2014) mostraron que variar sistemáticamente las cantidades
utilizadas en actividades sobre doble y mitad ayudaba a separar estos conceptos
de valores numéricos específicos. En ambos casos, el interés no estuvo en
aumentar la cantidad de ejercicios, sino en modificar deliberadamente
determinadas características para favorecer la comprensión de relaciones
matemáticas.
Los resultados de estos estudios también
muestran que identificar qué debe variar depende del contenido que se pretende
enseñar. En el trabajo de Holmqvist Olander y Nyberg (2014), la relación entre
una cantidad inicial y su doble o mitad constituyó el centro de las variaciones
diseñadas, mientras que Olteanu y Holmqvist (2012) identificaron aspectos
específicos de las ecuaciones cuadráticas cuya presencia o ausencia en la
enseñanza produjo oportunidades distintas de aprendizaje. Esta característica
impide entender la Teoría de la Variación como una técnica general basada
simplemente en presentar ejercicios diferentes; su aplicación requiere analizar
previamente qué relaciones matemáticas necesita discernir el estudiante.
Evidencia en la enseñanza del álgebra
En álgebra se han realizado estudios que
permiten observar el enfoque desde diseños comparativos. Ting et al. (2018) analizaron
a 114 estudiantes de secundaria distribuidos en cuatro clases de contextos
urbanos y rurales. Los grupos que recibieron enseñanza basada en la Teoría de
la Variación presentaron diferencias favorables en rendimiento algebraico
respecto de quienes siguieron una enseñanza convencional. No obstante, los
efectos relacionados con la motivación variaron según el contexto, por lo que
los resultados no respaldan una respuesta uniforme para todos los estudiantes.
Esto sugiere que los aportes de la teoría deben analizarse según el contenido,
las características del grupo y la manera concreta en que se organizan las
tareas (González Hernández, 2021)
La evidencia algebraica también permite
diferenciar entre ejecutar procedimientos y discernir propiedades necesarias
para utilizarlos. En las ecuaciones de segundo grado, los resultados obtenidos
por Soler et al. (2018) mostraron
que no todos los aspectos enfatizados durante la enseñanza tenían la misma
importancia para el aprendizaje. En paralelo, Ting et al. (2018) plantearon una
organización de la enseñanza donde las diferencias entre ejemplos fueron
utilizadas deliberadamente para dirigir la atención hacia relaciones
algebraicas. Estos estudios indican que el valor didáctico de una secuencia depende
menos de la cantidad de ejercicios que de las relaciones que las tareas
permiten comparar (Olteanu & Holmqvist, 2012).
Diseño de tareas y formulación de problemas
Una línea reciente amplía la aplicación de la
teoría hacia el diseño y reformulación de problemas. Marco & Palatnik (2024) analizaron cómo docentes involucrados en procesos iterativos de
formulación de problemas aprendían a identificar “dimensiones de posible
variación” dentro de una tarea. Reconocer estas dimensiones permitió modificar
problemas existentes o construir otros nuevos de acuerdo con propósitos
pedagógicos concretos. Por otra parte, Mårtensson & Ekdahl (2021) encontraron que profesores que planificaban
colaborativamente contenidos sobre números decimales utilizaron principios de
la Teoría de la Variación para precisar qué necesitaban aprender sus
estudiantes y diseñar tareas acordes con esas necesidades.
Estos hallazgos amplían la función de la teoría
más allá del análisis de lecciones ya desarrolladas. La identificación de
elementos modificables dentro de una tarea puede convertirse en un recurso para
decidir qué ejemplos presentar, en qué orden hacerlo y qué relación matemática
se espera que el estudiante advierta. Sin embargo, modificar superficialmente
valores o contextos no constituye por sí mismo una aplicación de la teoría; la
variación debe responder al aspecto matemático que se pretende hacer visible.
Tanto la investigación sobre formulación de problemas como la planificación
colaborativa muestran que esta decisión requiere conocimiento del contenido y
anticipación de las posibles dificultades del estudiante.
Teoría de la Variación y aprendizaje docente
La evidencia también ha examinado lo que ocurre
cuando los propios docentes utilizan este marco para analizar la enseñanza.
Mårtensson y Ekdahl (2021) encontraron que trabajar con Teoría de la Variación
permitió a futuros profesores relacionar experiencias de enseñanza con aquello
que los estudiantes tenían oportunidad de aprender. Más recientemente, mostraron
que estos principios podían incorporarse a reuniones ordinarias de planificación
colaborativa y no únicamente a procesos formales de Learning Study (Mårtensson et al., 2024).
En ambos casos, la teoría funcionó como una herramienta para precisar el
contenido que debía aprenderse y examinar cómo las tareas podían hacerlo
accesible.
El trabajo docente adquiere así un papel
específico: antes de establecer una secuencia de ejercicios es necesario
definir qué relación matemática se pretende hacer perceptible. La investigación
sobre planificación colaborativa muestra que este proceso puede modificar la
manera en que los profesores seleccionan ejemplos y formulan preguntas,
mientras que los estudios sobre creación de problemas indican que reconocer las
dimensiones que pueden variarse amplía las posibilidades para adaptar una tarea
sin perder su propósito matemático. La Teoría de la Variación aparece, por
tanto, tanto como una perspectiva para diseñar oportunidades de aprendizaje
como una herramienta para analizar las decisiones que toma el profesorado.
Alcances de la evidencia empírica
Los estudios revisados presentan resultados
favorables en contenidos como aritmética, ecuaciones y álgebra, así como en
procesos de diseño de tareas y planificación docente. Sin embargo, la evidencia
procede de diseños diferentes: estudios de aula, intervenciones
cuasiexperimentales, Learning Studies, estudios de caso y experiencias de
formación o colaboración docente (Rivera, 2023). Esta
diversidad permite observar distintas formas de aplicar la teoría, pero limita
la posibilidad de atribuirle un efecto pedagógico único o independiente de las
condiciones en las que se implementa (Vélez Castro & Vidal Velásquez, 2025).
La evidencia disponible permite interpretar la
Teoría de la Variación principalmente como un marco para organizar el contenido
y diseñar oportunidades de aprendizaje. Su utilidad depende de establecer qué
necesita discernir el estudiante y de relacionar las variaciones introducidas
con ese propósito. Los estudios revisados muestran aplicaciones en diferentes
niveles educativos, pero también señalan la necesidad de ampliar la
investigación hacia otros contenidos matemáticos, contextos culturales y
modalidades de enseñanza, así como de comparar con mayor precisión las
condiciones bajo las cuales diferentes formas de variación producen
aprendizajes distintos (Marco & Palatnik, 2024).
Conclusions
La Teoría de la Variación permite comprender la
enseñanza de la matemática como un proceso de organización intencional de las
diferencias y permanencias presentes en los contenidos, de modo que el
estudiante pueda reconocer relaciones que no siempre son visibles cuando los
ejercicios se presentan de forma aislada o repetitiva. Su principal aporte
reside en desplazar la atención desde la cantidad de actividades hacia la
estructura de las experiencias de aprendizaje, considerando qué aspecto debe
variar, qué elemento debe mantenerse constante y qué relación matemática se
espera que sea discernida. Desde esta perspectiva, la teoría ofrece un marco
para planificar la enseñanza con mayor precisión conceptual, porque vincula el
diseño de ejemplos, problemas y secuencias con aquello que se pretende que el
estudiante comprenda.
La revisión permitió establecer que la utilidad
de la Teoría de la Variación no depende de un contenido matemático específico,
sino de la posibilidad de identificar los aspectos críticos propios de cada
objeto de aprendizaje y convertirlos en el eje de la planificación. Esto
permite su aplicación en diferentes campos de la matemática y en distintos
niveles educativos, pero también implica que no puede reducirse a una técnica
uniforme ni a una secuencia fija de ejercicios. Su incorporación exige
decisiones docentes relacionadas con la selección de ejemplos, el orden de
presentación, la comparación entre situaciones y la formulación de tareas que
permitan distinguir propiedades, relaciones y estructuras. En consecuencia, su
valor didáctico se encuentra en la manera en que orienta la construcción de
oportunidades para comprender y no solamente en la introducción de variaciones
superficiales entre actividades.
La evidencia analizada permite considerar la
Teoría de la Variación como un marco pertinente tanto para el aprendizaje
matemático como para la reflexión sobre la práctica docente. Su aplicación
favorece una planificación centrada en el contenido que se desea hacer visible
y ofrece criterios para examinar por qué determinadas tareas pueden generar
oportunidades distintas de aprendizaje. Al mismo tiempo, la diversidad de
diseños, poblaciones y contenidos presentes en los estudios disponibles indica
que todavía es necesario ampliar la investigación para determinar con mayor
precisión en qué condiciones sus principios resultan más adecuados y cómo
pueden articularse con otras formas de enseñanza. Por ello, el desarrollo
futuro de esta línea debería profundizar en estudios comparativos y en
experiencias desarrolladas en contextos educativos diversos, sin perder de
vista que el núcleo de la teoría se encuentra en la relación entre variación,
discernimiento y comprensión matemática.
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authors received no funding for the development of the research.
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